<div class="exo">    
Soit \( f:\lbrack a, \; b\rbrack  \longrightarrow \mathbb R \) une fonction de classe \( \mathcal{ C}^2 \)
admettant un unique zro \( \alpha \in \rbrack a, \; b\lbrack  \) de multiplicit 1.

<ol><li>  Montrer qu'il existe \(  \eta >0 \; \hbox{ tel
      que }\;  V_{\alpha} = \lbrack \alpha -\eta ,\alpha +\eta\rbrack  \subset \rbrack a, \; b\lbrack  \)  vrifiant
\( \forall\ x\in V_{\alpha},  \; f'(x) \neq 0 \) et la suite \( (x_n) \)
    dfinie par:
\( 
\displaystyle \left\{
\begin{matrix} 
 x_0 \in V_{\alpha} & \\
 x_{n+1} = g(x_n), & \; \forall n\in \mathbb N \\
\end{matrix}  
\right.
 \)
est convergente vers \( \alpha  \). 
 </li><li>  Si on pose \( \displaystyle e_n = x_n-\alpha, \) montrer que  \( \displaystyle\lim_{n\longrightarrow
  +\infty}\displaystyle\frac{e_{n+1}}{e^2_n} = \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}  \). \newline 
En dduire que  \( \displaystyle\forall\ n\in\mathbb N, \; \displaystyle \frac{|e_{n+1}|}{e^2_n} \leq \displaystyle \frac {M_2}{ 2m_1}, \) avec 
\( \left\{
\begin{matrix} 
m_1 & = & \displaystyle\mathop{\inf}_{x\in V_{\alpha}}\ |f'(x)|\\
\;\\
M_2 & = & \displaystyle\mathop{\sup}_{x\in V_{\alpha}}\ |f''(x)|\\
\end{matrix} 
\right . \)
 </li></ol>
</div> 