<h2>Valeur propre 1 et points fixes</h2>
<div id="thm">
 <b>Proposition : </b> 
 Soit  \( f ) une application affine d'un espace affine \( E ) de dimension finie dans lui-mme et soit \( \vec f ) l'application linaire associe  \( f ). Alors, l'application \( f ) admet un <font color="red">unique point fixe</font> si et
seulement si \( 1 ) n'est pas valeur propre de \( \vec f ).</div>

<h2>Commutation avec une translation</h2>
 <div id="thm">
 <b>Proposition :</b>
Soient \( g ) une application affine d'un espace affine \( E ) de dimension finie dans lui-mme et \( \vec v ) un
vecteur de \( \vec E ). Les applications \( g ) et \( t_{\vec v} ) commutent si
et seulement si \( \vec v ) appartient  \( {\rm Ker}(\vec  g - \text
{\rm Id}_{\vec{\scriptstyle  E}}) ) </div>

<h2>Dcomposition des applications affines </h2>
<div id="thm">
 <b>Thorme : </b> 
Si une application affine \( f )  de  \( E ) dans \( E ) vrifie :
<center>\( 
\vec E = {\rm Ker} (\vec f -\text {\rm Id}_{\vec{\scriptstyle   E}}) \oplus {\rm
Im}\, (\vec f
-\text {\rm Id}_{\vec{\scriptstyle   E}}) )</center>
alors \( f ) s'crit de manire unique \( t_{\vec v} \circ  g ) o
<ol>
<li> 
 \( g ) est une application affine admettant un point fixe,</li>
 <li>
le vecteur \( \vec v ) appartient  \( {\rm Ker} (\vec f - \text {\rm
Id}_{\vec{\scriptstyle   E}}) ) </li>
<li> 
 \( g ) et \( t_{\vec v} ) commutent.
</li></ol></div>

\fold{}{Remarque}{D'aprs la proposition prcdente, les affirmations (2) et (3) du thorme sont quivalentes.}

<h2>Cas particulier des isomtries affines</h2>
<div id="thm">
 <b>Corollaire : </b> Une isomtrie affine vrifie les hypothses du thorme de dcomposition des applications affines.</div>