\def{integer a=randint(1,3)}
\def{text liste = (x+2*y)*(y-\a*x)+y^3, x^2*(1+\a*y+y^2)+(x^3+y^3), (y-2*x)*(x+y), (x+3*y)*(x-\a*y^3)+y^3,(y-x^2)*(x-\a*y^2)+x*y^2}
\def{text parm1=(randitem(\liste))}
\def{function parm1=simplify(\parm1)}
\def{integer pas=20}
\def{real parm2=30}
\def{real parm3=0}
\def{real parm4=0}
\def{real parm5= 5}
\def{function d1=diff(\parm1,x)}
\def{function d2=diff(\parm1,y)}
\def{function d11=diff(diff(\parm1,x),x)}
\def{function d22=diff(diff(\parm1,y),y)}
\def{function d12=diff(diff(\parm1,x),y)}
\def{real e11=evalue(\d11,x=0,y=0)}
\def{real e22=evalue(\d22,x=0,y=0)}
\def{real e12=evalue(\d12,x=0,y=0)}
<div class="exemple"> <span class="exemple"> Exemple : </span>
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
Courbes de niveau de la fonction  \(f) dfinie par
<center> \(f(x,y)=\parm1) </center> pour \(-\parm5\leq x,y\leq \parm5): 
<center>\embed{niveauprog}{.}  </center>
Lorsque  \(k=0), 
 <center>grad \(\parm1 = (\d1,\d2))</center>
est nul au point \((0,0)) et on ne peut donc pas dfinir de tangente  la courbe en ce point  l'aide du gradient.  </div>

Que peut-on faire ? On peut quand mme deviner qu'il y a des tangentes  la courbe. 

Supposons qu'il existe une courbe paramtre \(C)   \(c=(c_1,c_2)), \(C^1) dfinie sur un intervalle \(I) ouvert contenant 0 et telle que \( f(c_1(t),c_2(t))=0) pour \(t\in I) et \(M_0= (c_1(0),c_2(0))). Cherchons ce que l'on peut dire du vecteur tangent \(C). En drivant l'quation, on obtient
<center> \( c_1'(t)D_1(f)( c_1(t),c_2(t))+ c_2'(t)D_2(f)( c_1(t),c_2(t))=0) </center>
Prenons la valeur en \(t=0) : on obtient 0=0. 

Drivons-la de nouveau
<center> \( c_1''(t)D_1(f)( c_1(t),c_2(t))+ c_2''(t)D_2(f)( c_1(t),c_2(t))\ +)\(  
c_1'(t)^2D_{1,1}(f)( c_1(t),c_2(t))+ c_2'(t)^2D^2_{2,2}
(f)( c_1(t),c_2(t)))\(+ 2c_1'(t)c_2'(t) D_{1,2}(f)( c_1(t),c_2(t))=0)
</center>
Prenons la valeur en \(t=0) : 
<center>\(c_1'(0)^2D_{1,1}(f)(M_0)+ c_2'(0)^2D_{2,2}(f)(M_0)
+2 c_1'(0)c_2'(0) D_{1,2}(f)(M_0)=0)</center>
Ce qui donne une quation pour les composantes des vecteurs drivs \(u=(u_1,u_2)) possibles  au moins si une des drives secondes est non nulle en \(M_0). 
<div class="exemple">Ici, on obtient 
<center> \(D_{1,1}(f)=)\(\d11), \(D_{1,2}(f))\(=\d12), \(D_{2,2}(f))\(=\d22) et
<center>\(\e11* u_1^2+ +2*\e12* u_1*u_2+\e22* u_2^2=0)</center>
</div>

Pour mieux comprendre en appliquant : 
<div class="exercice"> <span class="exercice">  Exercice </span> sur \exercise{lang=fr&cmd=new&module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=courbgrad
}{les  courbes paramtres et les quations implicites de courbes} </div>