<ul><li>Soit  \(\mathcal U= \RR^2-\{O\}) et  
\(F = (\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{-x}{x^2+y^2})). 
 Le champ n'est pas dfini en \(O) et n'est donc pas dfini sur tout \(\RR^2). 
Son rotationnel est nul  sur  \(\mathcal{U}) : en effet,
  \(\frac{\partial}{\partial x}( \frac{-x}{x^2+y^2})= 
\frac{\partial}
{\partial y}
(\frac{y}{x^2+y^2})). Si  \(F= )grad \(f) pour une fonction \(f) \(C^1) sur \(\mathcal U), 
 on aurait  \(\int_{C} F\cdot dM= 0) pour tout
chemin
 \(C^1) ferm. Calculons  \(\int_{C} F\cdot dM) pour \(C) sur le cercle de centre  \(O) et de rayon  1. 
On utilise le paramtrage du cercle donn par  \(x=\cos t ),  \(y= \sin t) pour  \(t\in [0,2\pi]). 
<center> \(
\int_C \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} 
= \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos t \ d\sin t - \sin t \ d\cos
t}{\cos^2t+\sin^2 t}=\int_{0}^{2\pi} dt= 2\pi\neq 0
)
</center>
</li>
<li> Essayons quand mme de trouver une fonction \(f) dont le gradient est \(F) 
quitte  changer ensuite le domaine de dfinition. 
On devrait donc avoir \(\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{y}{x^2+y^2}),  donc
<center>  \(f(x,y)= Arctan( x/y)+ g(y)) </center>
avec
\(g(y)) ne dpendant pas de \(x).  On drive cette quation  par rapport  \(y) : 
<center>\(\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{-x}{y^2((x/y)^2+1)}+g'(y))
</center>
Donc, \(g ) est une constante.  </li>
<li> Ainsi, si on prend comme domaine \(\mathcal V)   le demi-plan \(\RR^2) 
form des \(y>0), le champ \(F) sur  \(\mathcal V) est bien un champ de gradient. </li>
</ul>
