Parfois, on est amen  utiliser la formule du\fold{theoreme}{thorme} de la droite vers la gauche. Pour calculer  \(\int_{\alpha}^{\beta} f(u)\;du) o  \(f) est une fonction continue sur  \([\alpha,\beta]), on peut avoir envie de poser  \(u=\varphi(t)). On dfinit alors la variable  \(t) en fonction de  \(u) en posant  \(t=\psi(u)) dans une intgrale o ni l'expression  \(\psi(u)), ni sa drive n'apparaissent clairement : la fonction  \(\psi) doit  tre bijective sur  \([\alpha,\beta]) et  admettre la fonction rciproque  \(\varphi) de manire  ce que
\(\varphi(t)=\varphi(\psi(u))=u). 
<ul><li> Par hypothse,  \(f) est continue sur l'image par  \(\varphi) de l'intervalle de bornes  \(\varphi^{-1}(\alpha)) et  \(\varphi^{-1}(\beta)) (cette image est l'intervalle \([\alpha,\beta])) ;
</li><li>
 si de plus <span class="defn">la fonction  \(\varphi) est  de classe  \(C^{1})</span> , alors on peut appliquer le \fold{theoreme}{thorme} au changement de variable :  \(u=\varphi(t)).
 </li></ul>
<center>\( \int_{\alpha}^{\beta} f(u)\; du=
\int_{\varphi^{-1}(\alpha)}^{\varphi^{-1}(\beta)} (f \circ \varphi)(t)
\;\varphi'(t)\;dt =
\int_{\psi(\alpha)}^{\psi(\beta)} (f \circ \varphi)(t)\;\varphi'(t)\;dt ) . </center>
<p>
<div class="aide">
Concrtement, une fois choisi son candidat pour la fonction \(\varphi) :  
<ul><li> on dfinit proprement  la nouvelle variable  
\(t=\psi(u)), ce qui demande de vrifier que \(\varphi) est bijective d'un intervalle [a,b]  dterminer sur [\alpha, \beta]; on a donc 
<center> \( a=\psi(\alpha)= \varphi^{-1}(\alpha) \ , \  b=\psi(\beta)= \varphi^{-1}(\beta)) ;
</center>
</li>
<li>on vrifie que \(varphi) est une fonction \(C^1) sur [a,b] ; </li>
 <li> on remplace 
 <center><table border=0 > <tr> <td align=center>
  \(u)</td><td align=center>par </td><td align=center> \(\varphi(t)) </td>
  </tr>
  <tr><td align=center>
 \(du) </td><td align=center>par </td>
 <td align=center> \(\varphi'(t)\;dt)</td></tr>
 <tr><td align=center>
les bornes \(\alpha) et  \(\beta)  </td><td align=center>par </td><td align=center>
 \(\psi(\alpha)) et  \(\psi(\beta)) </td></tr>
 </table>
 </center>
 </li></ul>
 </div>
 \comment{quand  \(u) varie de  \(\alpha)   \(\beta),
   \(t) varie de  \(\psi(\alpha)=\varphi^{-1}(\alpha))   \(\psi(\beta)=
   \varphi^{-1}(\beta)).}
