<p>
<div id="ccc">Rsoudre dans \( \mathbb{R}^4 ) le systme : 
    \( (S) : \left\{
    \begin{array}{rcrcrcrcl}
        2x & + & 2y & -& z & - & t & = & -1  \\
        x& + & y & - & 2z & - & 2t & = & -4  \\
        x & + & y & + & 4z & + & 4t & = & 10
    \end{array}\right. \)
    <p><b> Solution  : </b>
       Le tableau du systme se transforme ainsi par les oprations
        lmentaires indiques 
	(tous les systmes reprsents par les tableaux suivants sont quivalents):
	<center>\( \begin{array}{cccc|c}
	    2 & 2 & -1 & -1 & -1  \\
	    1 & 1 & -2 & -2 & -4  \\
	    1 & 1 & 4 & 4 & 10
	\end{array}\quad
	   L_2 \leftrightarrow L_1\\
	\quad
	\begin{array}{cccc|c}
	    1 & 1 & -2 & -2 & -4  \\
	    2 & 2 & -1 & -1 & -1  \\
	    1 & 1 & 4 & 4 & 10
	\end{array}\quad
	   L_2-2L_1 \rightarrow L_2\\
	 )</center>
	<center>\( 
	\begin{array}{cccc|c}
	    1 & 1 & -2 & -2 & -4  \\
	    0 & 0 & 3 & 3 & 7  \\
	    1 & 1 & 4 & 4 & 10
	\end{array}\quad
	   L_3 - L_1-2L_2\rightarrow L_3\\
	\quad
	\begin{array}{cccc|c}
	    1 & 1 & -2 & -2 & -4  \\
	    0 & 0 & 3 & 3 & 7  \\
	    0 & 0 & 0 & 0 & 0
	\end{array} \)</center>
	
Le systme est de rang \( 2 ), il est compatible puisqu'il est 
quivalent  un systme dont le rang est gal au nombre d'quations. 
Les inconnues principales sont \( x ) et \( z ). Les inconnues secondaires 
\( y ) et \( t ) sont des paramtres \( \alpha ) et \( \beta ).

On trouve facilement une solution particulire de \( (S') ) en annulant 
\( \alpha ) et \( \beta ) : \( s=(\frac{2}{3},0,\frac{7}{3},0) ). 
<font color="green">On vrifie que 
\( s ) est solution de \( (S) ).</font>

La solution gnrale de \( (S'_0) ) est 
\( \sigma=(-\alpha,\alpha,-\beta,\beta)=\alpha(-1,1,0,0)+\beta(0,0,-1,1). )

<p class="p3"> On vrifie que \( \sigma_{\alpha}=(-1,1,0,0) ) et  
\( \sigma_{\beta}=(0,0,-1,1) ) sont solutions de \( (S_0) ).</p>

<font color="green">La conclusion s'crit :</font> L'ensemble des solutions de \( (S) ) est 
\( \mathcal S ) :
<center>\( \mathcal{S}=\{(\frac{2}{3},0,\frac{7}{3},0)+\alpha(-1,1,0,0)+\beta(0,0,-1,1), (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}\}. )</center></div>

    