Comment "fabriquer" des applications linaires ?  Y a-t-il "peu" ou 
"beaucoup" d'applications linaires entre deux \(K)-espaces vectoriels ?
	Nous allons y rpondre quand l'espace de dpart est de dimension finie.



<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span>Soient  
\(E) et  \(F) deux espaces vectoriels sur le corps \(K). Supposons que 
\(E) est de dimension finie  \(n\in \NN^*). Soient  \((a_1,a_2, ... ,a_n)) 
une base de  \(E) et  \((b_1,b_2, ... ,b_n)) 
une suite quelconque de vecteurs de  \(F). Alors il existe une et une 
seule application linaire  \(\f) telle que :
<center> \(f(a_i) = b_i) , 1 \leq \(i) \leq \(n) </center>
</div>

<div class="thm"><span class="thm"> Corollaire : </span> Soient  
\(E) et  \(F) deux \(K)-espaces vectoriels. Supposons que 
\(E) est de dimension finie et qu'il existe un isomorphisme de 
\(E) sur  \(F). Alors  \(F) est de dimension finie,  \(dim F = dim E) et 
il existe un isomorphisme de  \(F) dans  \(E).
</div>

<div class="defn"><span class="definition"> Dfinition : </span> 
Deux K-espaces vectoriels  \(E) et  \(F) sont dits <span class="defn"> 
isomorphes </span>  s'il existe un isomorphisme de  \(E) sur  \(F).
</div>


	C'est le corollaire qui justifie cette dfinition, lorsque  \(E) 
	est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons 
	un peu plus tard que l'application rciproque d'un isomorphisme est
	toujours un isomorphisme.


<div class="thm"><span class="thm"> Corollaire : </span> Soient  \(E) 
et  \(F) deux espaces vectoriels de dimension finie  \(n\in \NN^*) et 
\(p) \in \(\NN^*), respectivement. Soit   \(\f) une application linaire. 
Choisissons une base \calB =\((a_1, a_2, ... , a_n)) de  \(E) 
et une base  \calB' = \((a'_1, a'_2, ... , a'_p)) de  \(F). 
L'application  \(T : L(E,F) \rightarrow )M \(_{p,n})(K) qui 
 toute application linaire  \(f) \in \(L(E,F)) fait correspondre 
la matrice  
\(M_{\cal B}^{\cal B'}(f)) de  \(f) dans les bases  \calB et 
\calB' est une application bijective.
</div>