<div class="exo">    
On veut calculer les zros de 
l'quation <div class="math">\(\displaystyle f(x) = {x\over 2}-\sin (x)+{\pi\over 6}-{\sqrt 3\over 2}=0\)</div> dans 
l'intervalle \( \displaystyle\left[-{\pi\over 2},\pi\right]  \). Le graphe de la fonction \( f \) est montr 
dans la figure suivante :




 <div class="center">
<img src=\filedir/exemple11.jpg width=400mm,height=100mm>
</div>





<ol><li>  Peut-on appliquer la mthode de la bissection pour
calculer les deux racines? Pourquoi ? Dans le cas o c'est possible, 
estimer le nombre minimal d'itrations ncessaires pour calculer
le(s) zro(s) avec une tolrance \( \varepsilon = 10^{-10}, \) aprs
avoir choisi un intervalle convenable.\\
 </li><li>  Ecrire la mthode de Newton pour la fonction \( f  \). A l'aide du
 graphe de la fonction \( f, \) dduire l'ordre de convergence de la
 mthode pour les deux zros.\\
 </li><li>  On considre maintenant la mthode de point fixe \( \displaystyle x_{k+1} = \phi(x_k), \) avec
<div class="math">\(\displaystyle\phi(x_k) = \sin (x_k)+{x_k\over 2}\left({\pi\over 6}-{\sqrt 3\over 2}\right)\)</div> 
pour calculer le zro \( \alpha >0  \). En observant que \( \displaystyle\alpha \in\left[{2\pi\over 3},\pi\right], \) tablir si cette mthode de point fixe est convergente.\\
 </li><li>  En considrant encore le zro \( \displaystyle\alpha\in\left[{2\pi\over
    3},\pi\right] \) et la mthode de point fixe introduite  la
    question prcdente,\ montrer qu'il existe une constante positive \( C > 0 \) telle que 
<div class="math">\(\displaystyle |x_{k+1}-\alpha|\leq C|x_k-\alpha|\)</div>
et estimer cette constante.
 </li></ol>
</div>