<div class="preu">    

On pose \( x_{n+1} = g(x_n) \) o <div class="math">\(g(x) = \displaystyle \frac {x f(b) - b
  f(x)}{f(b) - f(x) }.\)</div> La fonction \( f \) est strictement convexe : sa courbe
  est en dessous de tout segment reliant deux points de cette
  courbe. Donc \( f \) admet son unique zro \( \alpha \) dans l'intervalle
  \( \lbrack a, b\rbrack   \).\\
Comme \( f(a) < 0 \) et \( f(b) > 0 \), le rel \( x_1 \) est l'absisse de l'intersection de la
  droite passant par \( (a, f(a)) \) et \( (b, f(b)) \) et vrifie \( f(x_1) < 0 \) ;  de mme,
\( f(x_2) < 0 \) et par rcurrence on a <div class="math">\(\displaystyle f(x_n) < 0, \;  \forall  n \in
\mathbb N .\)</div>
On vrifie que la suite \( (x_n) \)
est croissante majore par \( b, \) donc convergente. Comme \( x_{n+1} = g(x_n) \) 
et que \( g \) est continue, la limite est l'unique point fixe de
\( g  \). De plus, 

<div class="math">\(\left| \displaystyle \frac {x_{n+1} - \alpha}{ x_n - \alpha} \right| = \left| \displaystyle
\frac {g(x_n)-g(\alpha)}{x_n-\alpha} \right| \displaystyle \longrightarrow
|g'(\alpha)| = \left| 1+(\alpha - b) \displaystyle \frac {f'(\alpha)}{f(a)}\right|\)</div>
(la dernire galit est obtenue en drivant \( g \)  au point \( \alpha  \)).
</div>