<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode de Newton} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-1  Principe et convergence</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}</div>

\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<em><font color="green">La mthode de Newton est une mthode particulire de point fixe.</font></em>   Elle
est base sur l'ide de construction d'une suite \( (x_n) \) qui
converge vers \( \alpha \) d'une manire quadratique. Rappelons que 
d'aprs le  \link{mainS3S5}{thorme}{th1}, si \( g \) est une application 
de \(  \lbrack a, \; b\rbrack \) dans \(  \lbrack a, \; b\rbrack \), 
on a les rsultats suivants:
<ol><li>  Si \( g \in \mathcal{ C}^{1} \left( \lbrack a, \; b\rbrack  \right), \; 
g'(\alpha) \neq 0, \;  \left|
  g'(\alpha)\right| < 1 \), et si \( \forall n\in \mathbb N , \; x_n \neq \alpha
   \) alors 
<div class="math">\(
\displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \frac {\left|  x_{n+1} - \alpha\right|}{\left|
x_n - \alpha \right|} =  \left|
  g'(\alpha)\right| \in \rbrack 0, \; 1\lbrack  
\)</div>
\noindent et la convergence est linaire.

 </li><li>  Si \( g \in \mathcal{ C}^{2} \left( \lbrack a, \; b\rbrack  \right), \;
  g'(\alpha) = 0 \) et \(  \forall n\in \mathbb N , \; x_n \neq \alpha \), alors 
<div class="math">\(
\displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \frac {\left|  x_{n+1} - \alpha\right|}{\left|
x_n - \alpha \right|^2} = \displaystyle \frac {1}{2} \left|
  g''(\alpha)\right| 
\)</div>
et la convergence est au moins quadratique.
 </li></ol>

Poursuivons maintenant notre construction de la mthode de
Newton. Considrons \( f \in \mathcal{ C}^3 \left(\lbrack a, \; b\rbrack \right) \)
et \(  \alpha \in \lbrack a, \;
  b\rbrack  \mbox{ tel que } f(\alpha) = 0  \). Posons 
<div class="math">\(g(x) = x + h(x) f(x),\)</div>
avec \( h \in \mathcal{ C}^2\left( \lbrack a, \; b\rbrack \right)  \)
tel que <div class="math">\(h(x) \neq 0, \; \forall x \in  \lbrack a, \; b\rbrack  .\)</div> Nous avons donc:
<div class="math">\(
g(x) = x \Longleftrightarrow f(x) = 0
\)</div>
\noindent Nous allons choisir que \( g'(\alpha) = 0, \) avec ceci, la mthode de point fixe applique \( g \) 
donne pour \(  x_0 \in V_{\alpha} \) une suite \( (x_n) \) convergeant vers \( \alpha  \) d'une manire au moins
quadratique (d'ordre suprieur ou gal  \( 2 \)). Or 
<div class="math">\(g'(x) = 1 + h^{'}(x) f(x) +  f'(x) h(x) \)</div> et
donc   
<div class="math">\(g'(\alpha) = 1 + h(\alpha)  f'(\alpha) .\)</div> Il suffit donc de choisir 
\( h \) telle que <div class="math">\(h(\alpha) = - \displaystyle \frac {1}{f'(\alpha)}\)</div> Ceci n'est
possible que si <div class="math">\(f'(\alpha) \neq 0\)</div>

\noindent En rsum, si \( f \in \mathcal{ C}^3 \left(\lbrack a, \; b\rbrack \right) \)
est telle que \( f'(\alpha) \neq 0 \) et \( f(\alpha) = 0  \),  on prend \( h = -\displaystyle \frac{1}{f'} \) 
pour \( x \) assez proche de \( \alpha, \) et la fonction \( g \in \mathcal{ C}^2 \left(\lbrack a,
  \; b\rbrack \right) \) dfinie par:
<div class="math">\(
g(x) = x - \displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}
\)</div>
\noindent vrifie \( g'(\alpha) = 0 \). Grce au  \link{mainS3S5}{thorme}{th1}, il existe un voisinage
\( V_{\alpha} \) de \( \alpha \) dans \( \lbrack a, \; b\rbrack  \) tel que la suite \( (x_n) \) dfinie
par 
<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
x_0 \in V_{\alpha} & \\ 
x_{n+1} = g(x_n) & = x_n - \displaystyle \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \; \;  \forall \; n \geq 0
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 
\noindent est convergente vers \( \alpha \) de manire au moins quadratique.
<h2 class="rmq">Remarque</h2><div class="rmq"> 
La suite de Newton vrifie 
<div class="math">\(
f'(x_n) (x_{n+1} - x_n) = - f(x_n)
\)</div>
\noindent ou encore 
<div class="math"><a name="eq1">\(  
f(x_n) + f'(x_n) (x_{n+1} - x_n) = 0 
 \)</div>
 Soit \( x_0 \) un point donn (proche de \( \alpha \)). On considre la droite
\( d \) qui passe par le point \( (x_n, \; f(x_n)) \) et qui a comme pente
\( f'(x_n) \). Elle a comme quation: 
<div class="math">\(
y = f'(x_n) (x - x_n) + f(x_n)
\)</div>
\noindent D'aprs  \link{mainS4S1}{l'quation}{eq1}, \( x_{n+1} \) est le point o
la droite \( d \) intersecte l'axe \( Ox \).
</div></div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS4S1}{IV-1  Principe et convergence}</div>

\link{mainS4S2}{IV-2  Illustration graphique}

\link{mainS4S3}{IV-3  Mthode de Newton modifie}

\link{mainS4S4}{IV-4  Thorme de convergence globale}

\link{mainS4S5}{IV-5  Test d'arrt}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>