<div class="preu">    
<ol><li>  <em><font color="green"> Cas de \( 0 \leq g'(\alpha) < 1  \).</font></em>  
 D'aprs la continuit de \( g', \) il existe \( \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack   \) 
contenant \( \alpha \) tel que 
<div class="math">\(0 \leq g'(x) < 1, \; \forall x \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack .  \)</div> 
On a alors 
<div class="math">\(g(\lbrack \beta, \; \gamma\rbrack ) \subset \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  .\)</div> 
En effet, comme \( g \) est croissante sur \( \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack \), on a: 
<div class="math">\(g(\lbrack \beta, \; \gamma\rbrack ) = \lbrack g(\beta), \; g(\gamma)\rbrack .\)</div>
D'autre part, on a 
<div class="math">\(\alpha - g(\beta) = g(\alpha) - g(\beta) = (\alpha - \beta) g'(\xi), \;
\xi \in \rbrack \beta, \; \gamma\lbrack. \)</div> 
Comme \( g'(\xi) \in \lbrack 0, \; 1\lbrack \), <div class="math">\( 0 \leq \alpha -g(\beta) \leq (\alpha - \beta)\)</div>
ce qui donne 
\( g(\beta) \geq \beta  \). Donc \( \alpha - \beta \geq 0  \).\\
De plus,
<div class="math">\(g(\gamma)-\alpha = g(\gamma) - g(\alpha) = (\gamma - \alpha) g'(\nu), \; 
\nu \in \rbrack \alpha, \; \gamma\lbrack. \)</div>
Comme \( g'(\nu) \in \lbrack 0, \; 1\lbrack \), <div class="math">\( 0 \leq g(\gamma) - \alpha \leq (\gamma - \alpha), \)</div>
ce qui donne \( g(\gamma) \leq \gamma  \).

D'o \( g(\lbrack \beta, \; \gamma\rbrack ) \subset \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  \). 
De plus: 
<ul><li> 
si \( x_0 < \alpha \), alors \( (x_n) \) est croissante convergeant vers  \( \alpha \) ;
 </li><li>  
si \( x_0 > \alpha \), alors \( (x_n) \) est dcroissante convergeant vers  \( \alpha \) 
 </li></ul>

 </li><li>  <em><font color="green"> Cas de \( -1 < g'(\alpha) < 0  \).</font></em>  
 D'aprs la continuit de \( g', \) il existe un voisinage 
 \( \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack   \) de \( \alpha \) tel que 
 <div class="math">\(-1 < g'(x) < 0, \; \forall x \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  ,\)</div> 
et \( \gamma=g(\beta) . \)
Les rels \( \gamma \) et \( \beta \) sont ncessairement de part et d'autre de \( \alpha \): 
\( \beta < \alpha < \gamma \) ou \( \gamma < \alpha <\beta  \). \\
En effet, on a 
<div class="math">\(\gamma - \alpha = g(\beta) - g(\alpha) = (\beta - \alpha) g'(\xi), \; 
\xi \in \rbrack \beta, \; \alpha\lbrack  .\)</div>
Comme \( g'(\xi) \in \rbrack -1, \; 0\lbrack \), 
\(  \gamma - \alpha \) et \( \beta -\alpha \) sont de signes contraires, ce qui prouve le rsultat.

Montrons que si \( x_0 \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  \),
alors <div class="math">\(x_n \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack , \; \forall n \in \mathbb N .\)</div>
On suppose que \( \beta < \gamma \); 
on a \( x_0 \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  \), ce qui implique que \( \beta \leq x_0 \), puis que
 <div class="math">\(\gamma = g(\beta) \geq g(x_0)=x_1 .\)</div>
 D'o \( x_1 \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack   \). 
 Soit \( n \in \mathbb N, \) en supposant que \( x_n \) et \( x_{n-1} \) appartiennent 
  \( \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack \),
 on montre de la mme faon que <div class="math">\(x_{n+1} \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  .\)</div>
 
On conclut donc que 
<div class="math">\(\forall n \in \mathbb N, \; x_n \in \lbrack \beta, \; \gamma\rbrack  .\)</div>

Remarquons finalement que \( \alpha \) est toujours entre deux termes successifs 
de la suite \( (x_n)  \). On dit que <em><font color="green"> \( (x_n) \) encadre \( l  \).</font></em>   
Par consquent si \( |x_n - x_{n-1}| \leq \varepsilon, \) \( |x_n - \alpha| \leq \varepsilon  \).
 </li></ol>
</div>