<div class="preu">    
<b><font color="orange"> Etape 1:</font></b>   Existence de l et convergence de la suite\\
Remarquons d'abord que  \( g(\lbrack a, \; b\rbrack ) \subset \lbrack a, \; b\rbrack  \) ce qui implique que la suite \( (x_n) \) est 
bien dfinie. 
Soit \( x_0 \) dans \( \lbrack a, \; b\rbrack  \) et \( x_{n+1} = g(x_n), \
\forall n \geq 0  \). Nous allons montrer: 
<ol><li>  \( \left(x_n \right) \) est de Cauchy (donc convergente, car \( \lbrack a, \; b\rbrack  \)
  est complet)
 </li><li>   \( x_n\longrightarrow  l \) quand  \( n\longrightarrow  +\infty, \) o \( l \) est un point
 fixe de \( g  \).
 </li></ol>

\noindent Par hypothse, on sait que 
<div class="math">\( \forall n \geq 1,\; |x_n-x_{n+1}| = |g(x_{n-1})- g(x_n)| \leq k|x_{n-1}-x_n| .\)</div>
Par rcurrence sur \( n, \) on obtient:
<div class="math">\(|x_n-x_{n+1}|\leq k^n|x_0-x_1|, \ \forall n \geq 0 .\)</div>
Soit \( n \geq 0 \) et \( p \geq 1, \) on a donc: 

<div class="math">\(
\begin{matrix} 
|x_{n+p}- x_{n}| & \leq & |x_{n+p}-x_{n+p-1}| + \cdots + |x_{n+1}-x_{n}|\\
\; & \leq & \displaystyle \sum _{q = 1}^{p} |x_{n+q}-x_{n+q-1}| \\
(*)\;\;\;\;& \leq & \displaystyle \sum _{q=1}^{p} k^{n+q-1} |x_{1}-x_{0}| \\
\; & \leq & |x_{1}-x_{0}| \ k^n \left(1+k+ \cdots + k^{p-1} \right)\\
\; & \leq & |x_{1}-x_{0}| \displaystyle \frac {k^n}{1-k} \longrightarrow  0 
\mbox{ quand }    n\longrightarrow  +\infty  \mbox{ car } k<1 
\end{matrix} 
\)</div>
La suite \( (x_n) \) est donc de Cauchy dans \( \lbrack a, \; b\rbrack  \) qui est complet et par
consquent \( (x_n) \) converge vers une limite \( l \) quand \(  n\longrightarrow
+\infty  \). Comme la fonction \( g \) est contractante, elle est continue, et 
donc \(  g(x_n) \longrightarrow g(l) \) quand  \(  n\longrightarrow +\infty  \). En
passant  la limite dans l'galit:  \( x_{n+1} = g(x_n), \) on en
dduit que \( l = g(l), \) c'est  dire que \( l \) est un point fixe de
\( g  \).

\noindent<b><font color="orange"> Etape 2:</font></b>   Unicit

\noindent Soient \( l_1 \) et \( l_2 \)  deux points fixes de \( g, \) donc \( l_1 = g(l_1) \mbox{ et }
l_2 = g(l_2), \) alors  \( \displaystyle |g(l_1)-g(l_2)| = |l_1-l_2| \leq k|l_1 - l_2|  \); comme
\( k<1, \) ceci est impossible sauf si \( l_1 = l_2  \).

</div> 