<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Intgration numrique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S2}{IV-2  Estimation rigoureuse de l'erreur} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-2-1  Noyau de Peano</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Formules de quadrature et leur ordre}

\link{mainS3}{III  Mise en oeuvre sur Matlab}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature}</div>

\link{mainS5}{V  Exemples de calcul numrique de l'ordre}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
Dans ce paragraphe on s'occupe de l'estimation
exacte de l'erreur d'une formule de quadrature en vue de dmontrer
les thormes de convergence et assurer une certaine prcision
du rsultat numrique. 

<h2 class="thm">Thorme [et Dfinition]</h2><div class="thm">
Soit une formule de quadrature d'ordre \( p \) et un entier \( k \)
vrifiant \( k \leq p \). Considrons une fonction 
\( f: \; [x_0, \; x_0 + h] \longrightarrow \mathbb R \) de classe \( \mathcal{ C}^k \), alors l'erreur \( E(f, \;
x_0, \; h) \) dfinie par la  \link{mainS4S1S4}{formule}{Eq7} vrifie: 
<div class="math">\(
E(f, \;x_0, \; h) = h^{k+1} \int_0^1 N_k(s) f^{(k)}(x_0 + s\; h) \; ds 
\)</div>
o \( N_k \) est le <em><font color="green">noyau de Peano</font></em>   <a name="noyau de Peano">, dfini par:
<div class="math">\(
N_k(s) = \frac{(1-s)^k}{k!} - \sum_{i=1}^s b_i
\frac{(c_{i}-s)_+^{k-1}}{(k-1)!} \; \mbox{ o } \; 
r_+^{k-1} = 
\left\{
\begin{matrix}  
r^{k-1} & si & r>0 \\
&&\\
0 & si & r \leq 0
\end{matrix} 
\right.
\)</div>
</div>



\fold{mainS4S2S1F_preu1}{<span class="preu">Preuve</span>

}



<h2 class="rmq">Remarque</h2><div class="rmq"><a name="rmq10">
Pour une formule de quadrature d'ordre \( p \) et un entier \( k \)
vrifiant \( 1 \leq k \leq p \) on a:
<div class="math">\(
\int_0^1 N_p(s) \; ds = \frac{1}{p!} \left( \frac {1}{p+1} -
\sum_{i=1}^{s} b_i c_i^p \right) = C 
\)</div>
o \( C \) est la constante de l'erreur
  dfinie par la  \link{mainS4S1S4}{formule}{Eqconstante}. 
</div>




\fold{mainS4S2S1F_ex1}{<span class="ex">Exemple</span>

}</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS4S2S1}{IV-2-1  Noyau de Peano}</div>

\link{mainS4S2S2}{IV-2-2  Majoration de l'erreur}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>