Soit  \calC une courbe  \(C^1) ferme sans points doubles entourant un
domaine  \calD. 
Choisissons un champ de vecteurs  \(F) dont le rotationnel est gal   \(1 ), 
c'est--dire  \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1), on a alors 
<center>
 aire(\calD) =\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} Pdx+Qdy)
</center>
  
On a donc ramen un calcul d'aire  un calcul d'intgrale curviligne. 
Par exemple,  les champs de vecteurs donns par  \((-y/2,x/2)), 
  \((-y,0)) ou  \((0,x)) conviennent. 

D'o les formules : 

<div class="thm">
<center>
 aire(\calD)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} (xdy-ydx)/2)
<br>
 aire(\calD)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}}-ydx)
<br>
 aire(\calD)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} xdy)
</center>
</div>

Prenons par exemple un domaine \calD dfini par \(a) \leq \(x) \leq \(b),  0 \leq \(y) \leq \(f(x))
pour une fonction \(f) positive. Des trois formules prcdentes, c'est la seconde qui est la plus intressante
pour ce domaine : L'intgrale curviligne est nulle sur les deux bords verticaux, elle est nulle aussi sur le
bord horizontal infrieur car on a alors \(y = 0). Donc , si \(C_1) est la courbe \(y = f(x)), \(x)
 \in [a, b], 
<center> aire(\calD) = \(-\int_{C_1}-ydx=\int_{a}^b f(x) dx)</center>

Ainsi, <b><font color=blue>la formule de Green est une gnralisation de la formule reliant 
l'intgrale d'une fonction positive avec l'aire du domaine associ. </font> </b>