Soit un espace vectoriel \( E ) de dimension \(n) muni d'un produit scalaire et d'une base orthonorme 
\({\mathcal B}_0). 

<div class="defn"><span class="defn">Dfinition</span> : Soit \( n-1 ) vecteurs \( v_1,..., v_(n-1) ). 
On appelle <span class="definition">produit vectoriel</span> de \( v_1,..., v_(n-1) )  l'unique vecteur
not \( v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} ) tel que 

<p align="center">\( det_{\mathcal B}( v_1,..., v_{n-1}, w) = (v_1 \wedge ... \wedge  v_{n-1}) \cdot w)</p>

pour tout vecteur \( w ) de \( E ). 
</div>

Un tel vecteur existe grce au thorme suivant :

<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> : Soit un espace vectoriel \( E ) de dimension \(n) muni d'un produit scalaire.
Soit \( f ) une forme linaire de \( E ) dans \( \RR ). Alors, 
il existe une unique vecteur \( a ) dans \( E ) tel que \( f(v)= a\cdot v ). 
</div>

<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple</span> : Prenons \( n=2 ) : 
le <i>produit vectoriel de \(v)</i> est le vecteur dduit de \( v ) par une rotation 
d'angle \( \pi/2 ) : on doit en effet avoir \( det_{\mathcal B_0} (v,w) = v^\perp \cdot w ).
Si les composantes de \(v), \(w) et \(v^\perp) dans la base \({\mathcal B}_0) 
sont respectivement \((a, b)), \((x,y) ) et \((c,d)), on doit avoir
\(ay - bx = cx + d y ) pour tous \(x) et \(y) dans \(K).
Donc les composantes de  \( v^\perp) sont \((-b, a)). 
</div>