Pour le calcul de la primitive \(F(x) =\int_{a}^x f(u)du)  sur l'intervalle [c,d] (avec  \(a\in[c,d])), on applique le changement de variable \( u=\varphi(t) ) 
si on peut
<ul><li>
choisir un \(y) vrifiant \(x=\varphi(y)) et un \(alpha) tel que \(a=\varphi(\alpha))
</li>
<li> vrifier que  \varphi est \(C^1) sur \( [\alpha,y]) (ou \([y,\alpha]))
</li>
<li>vrifier que \(f) est une fonction continue sur \(\varphi([\alpha,y])).
</li>
</ul>

Pour remplir ces conditions, on est donc amen  choisir un changement de variable \varphi
bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considrer la fonction rciproque
\psi de \varphi sur \(\varphi^{-1}([c,d])).  

<div class="aide">
Concrtement, 
<ul><li> pour tout x de [c,d], on pose y=\psi(x)
</li>
<li> on vrifie que \varphi est \(C^1) sur \(\psi( [c,d]))
</li>
<li> on vrifie que \( f)  est  continue sur [c,d].
</li>
</ul>
</div>

La primitive \(F) est alors dfinie sur [c,d] et on a en tout point \(x) de
[c,d]

<center>\(F(x) =\int_{a}^x f(u)du=\int_{\psi(a)}^{\psi(x)} (f\circ \varphi(t))\varphi'(t)dt)</center>

<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple  :</span>
<center>\( F(x)=\int_0^x \sqrt{1-u^2} \; du \qquad (x \in [-1,1]) )</center>
Le changement de variable \(u=cos(t)) appliqu  \(t) compris entre \(pi/2) et Arccos(x) donne (par dfinition de Arccos, \(sin(t))  est toujours positif ou nul pour \(t) compris entre \(pi/2) et Arccos(x)) :
<center>\( F(x)=-\int_{\pi/2}^{Arccos(x)}\sin^2(t)\;dt=\int_{Arccos(x)}^{\pi/2} \frac{1}{2}(1-\cos(2t))\;dt )</center>
<center>\( F(x)=\frac{1}{2} \left(\pi/2-Arccos(x)+\frac{\sin(2Arccos(x))}{2}\right) )</center>

<center>\( F(x)=\frac{1}{2}\left (\pi/2-Arccos(x)+\sin(Arccos(x))\cos(Arccos(x))\right) )</center>
<center>\( F(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}Arccos(x)+\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} )</center>
</div>