Le dterminant de ce systme est un dterminant de Vandermonde qui 
vaut \( D=(c-a)(c-b)(b-a) ).

<ul><li> Cas \( a ), \( b ) et \( c ) distincts :
 Si \( D ) n'est pas nul, c'est--dire si les paramtres \( a ), \( b ) et \( c ) 
sont distincts alors le systme a une unique solution donne par les 
formules de Cramer par exemple. 
<center>\(\begin{array}
	&x=\frac{D_x}{D}= 
	\frac{(b-c)(-bc+(b+c)\alpha-\beta)}{(c-a)(c-b)(b-a)}=
\frac{(bc-(b+c)\alpha+\beta)}{(c-a)(b-a)}\\
&y =
\frac{(ac-(a+c)\alpha+\beta)}{(b-c)(b-a)} \\
&z=
\frac{(ab-(b+a)\alpha+\beta)}{(c-a)(c-b)}
\end{array}\)</center></li>

Les expressions sont semblables par permutation circulaire.
<li>Cas \( a != b ) et \( b=c ) : Le systme est de rang \( 2 ) et il 
est compatible si et seulement si le bordant \( D_z ) est nul 
c'est--dire si et 
seulement si \( \beta ) vaut \( (a+b)\alpha - ab ).

Si \( \beta ) est diffrent de  \( (a+b)\alpha - ab ), le systme n'a 
pas de solution. 

Sinon les 
solutions du systme forment une droite affine \( D ) qui a pour 
quations \( x+y+z=1 ) et \( ax+by+bz=\alpha ). Un point particulier de 
cette droite est \( (\frac{\alpha-b}{a-b}, \frac{\alpha-a}{b-a}, 0) ) et 
le vecteur \( (0, 1, -1) ) est l'un de ses vecteurs directeurs.
</li>

<li>Cas  \( a=b=c ) : Le systme est de rang \( 1 ) et il est 
compatible si et seulement si \( \alpha=a ) et \( \beta=a^2 ). 

\noindent Si \( \alpha=a ) et \( \beta=a^2 ), l'ensemble des solutions est le plan 
affine d'quation \( x+y+z=1 ). 

Sinon, il est vide.</li></ul>

Les autres cas se traitent de mme puisque les trois paramtres jouent 
des rles symtriques.