Soient \(a),\(b), \(c) et \(d) quatre entiers. On dsire rsoudre l'quation 
<p> <center>\( ax + by + cz = d )</center></p>
en entiers.  Les tapes de rsolution peuvent tre les suivantes : 
<ul><li>
<span class="dem">Etape 1 : </span>se ramener au cas o \((a , b , c)) sont premiers entre eux :

 \fold{etape1}{<span class="dem">Explication</span>}

</li>
<li>
<span class="dem">Etape 2 : </span>Lorsque \(a), \(b), \(c) sont premiers entre eux, on se ramne 
au cas o deux des coefficients sont premiers entre eux : 

\fold{etape2}{<span class="dem">Explication</span>}

</li>
<li>
<span class="dem">Etape 3 : </span>Supposons  \(a) et \(b)  premiers entre eux. On cherche (et trouve) une solution particulire avec \(z = 0), ce qui revient  rsoudre l'quation 
\(ax + by = d\) :
 
<p>
\fold{etape3}{<span class="dem">Explication</span>}
</p>

</li><li>
<span class="dem">Etape 4 :</span> Supposons  \(a) et \(b)  premiers entre eux. On cherche les solutions de l'quation
<p> <center>\(ax + by + cz = 0) .</center></p>

\fold{etape4}{<span class="dem">Explication</span>}

</li><li>
<span class="dem">Etape 5 : </span>Supposons  \(a) et \(b)  premiers entre eux et 
\(au + bv = 1). La solution gnrale de l'quation \(ax + by + cz = d) est donne 
de manire matricielle par : 
<p align="center">\([x;y;z]=[u*d;v*d;0] + [b,-u*c;-a,-v*c;0,1]*[j;k])</p>
avec  \(j) et \(k) appartenant  \ZZ. 

</li></ul>