Un thorme important dont la dmonstration utilise la notion de supplmentaire est le thorme du rang
<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme : </span>
Soient  \(E) et  \(F) deux K-espaces vectoriels, avec  
\(E) de dimension finie et  \(\f) une application linaire. Alors  
\(Im f) est un sous-espace vectoriel de  \(F) de dimension finie et on a :
<p align="center">  dim \(E) = dim  Ker \(f) + rang \(f)</p>
</div>

<div class="thm"><span class="thm"> Corollaire fondamental : </span> Soient  \(E) et  \(F) deux K-espaces vectoriels de  mme dimension finie  \(n) et  \(\f) une application linaire. Les conditions suivantes sont quivalentes :
<ol><li>  \(f) est un isomorphisme de  \(E) sur  \(F).
</li><li> \(f) est injective.
</li><li> \(f) est surjective.
</li>
</ol>
</div>