Pour tous  \(x = x_1 u_1 + ... + x_n u_n) \in \(E) et  
\(y = y_1 u'_1 + ... + y_p u'_p) \in \(F),
on note  \(X_{\cal B}=[x_j]_{1\leq j\leq n}) et  
\(Y_{\cal B'}=[y_i]_{1\leq i\leq p}) les matrices colonnes des 
coordonnes des vecteurs  \(x) dans la base  \calB et 
\(y) dans la base  \calB', respectivement. Si  
\(A = M_{\cal B}^{\cal B'}(f)),  on a alors :
<center> \(f(x) =y   \Longleftrightarrow  AX_{\cal B} = Y_{\cal B'}) </center>


	Autrement dit, si  \(A) est la matrice de l'application linaire  \(f) dans les bases  
	\calB  de  \(E) et  \calB'
de  \(F) :
<table align=center border=1> <tr> <td>  <b>rsoudre l'quation  \(f(x) = y)</b></font>
(o  \(y) \in \(F) est donn et  \(x) \in \(E) est l'inconnue) </td>
 <td>quivaut</td> <td><b>rsoudre le systme linaire  \(AX_{\cal B}=Y_{\cal B'})</b></font>
</td> 
</tr><tr><td>
 <b>dterminer le noyau Ker \(f)</b></font></td>
   <td> quivaut </td>
    <td><b> rsoudre  le systme linaire homogne  \(AX_{\cal B}=0) ;</b></font></td><td>
    on obtient alors une base de Ker \(f), un systme d'quations paramtriques de Ker \(f) 
    et un systme d'quations cartsiennes de Ker \(f) 
</td> </tr>
<tr><td><b>dterminer le rang de  \(f), une base et un systme 
d'quations paramtriques de Im \(f)</b></font></td>
 <td> quivaut </td>
  <td> <b>dterminer le rang de la matrice  \(A)</b></font> 
</td> <td>c'est--dire le rang  de la suite des vecteurs colonnes de  
\(A)</td></tr>
<tr><td><b>dterminer un systme d'quations cartsiennes de Im \(f)</b></font> </td> <td>quivaut </td> <td>chercher les<b>
conditions de compatibilit du systme linaire  \(AX_{\cal B} = Y_{\cal B'})</b></font></td></tr>
</table>
</ul>